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¿Qué son los fractales?

Geometría Fractal.

15/05/2021

Concepto.

Los fractales son objetos matemáticos altamente visuales. Quizás no sea familiar el término de fractal, por eso antes de hablar de ellos es fundamental tener una visión de ellos.

Hay matemáticos que definen los fractales como una experiencia visual.

Primero, son autosimilares, esto quiere decir que si cogemos el objeto y lo ampliamos repetidas veces el resultado es la misma figura. Podemos encontrar una similitud con el concepto de recursividad, altamente utilizado en programación.

Podemos ver este fenómeno en el vídeo anteriormente compartido.

Segundo, son infinitos. Estos objetos parecen no terminar nunca.

Tercero, se pueden representar como procesos iterativos matemáticos.

Y, cuarta, su dimensión topológica es menor estrictamente a su dimensión fractal. La dimensión fractal es una medida que sirve para estimar la rugosidad.

 

Historia

 

Hasta aquí todo es matemática, pero cómo se dibuja un fractal. Un fractal se dibuja partiendo de algo: un segmento, un punto o una figura, se define una operación y se comienza a iterar sobre ello. Este concepto es muy simple. No hace falta conocer las matemáticas para definir un fractal, así, revisando la historia de la Geometría Fractal podemos ver como se definieron los primeros fractales: conjunto de Cantor o curva de Koch.

En la figura la iteración de la curva de Koch.

Basándonos en la curva de Koch es posible dibujar copos de nieve y calcular la longitud de fronteras, solo es cuestión de iterar y medir…

Como ya podemos imaginar la informática ha sido fundamental en el desarrollo de esta Geometría. Pero aún es pronto para hablar de ello. A principios del siglo XX un matemático, Gaston Julia, creo objetos basándose en la iteración de funciones. Básicamente tomaba una función y hallaba el valor de un punto, con ese valor volvía a ejecutar la función. El conjunto de pares representado en el plano es lo que llamó conjuntos de Julia.

¿Cuál era el problema? Manualmente era muy difícil realizar muchas iteraciones y más aún acercarnos en detalle.

Imagen de un conjunto de Julia generado en la actualidad con software.

 

Hacia medidos de 1970 otro matemático Benoît Maldelbrot entra a trabajar para IBM y empieza a resolver problemas utilizando los conjuntos de Julia, rápidamente comienza a utilizar los ordenadores para realizar iteraciones sobre los conjuntos y obtener increíbles resultados. Benoît creo su propio conjunto sobre una función que iteraba números complejos y obtuvo esta fascinante imagen:

Si nos acercáramos al detalle de sus bordes, veríamos otros conjuntos idénticos, y en sus ramificaciones vemos los conjuntos de Julia.

Hoy día el conjunto de Mandelbrot se dibuja con un detalle increíble, coloreándolo en función de la velocidad de escape de los puntos (algoritmo de escape). Y se realizan animaciones como el video de la cabecera.

A partir de este momento el crecimiento de esta Geometría fue exponencial, muchos especialistas vieron rápidamente la aplicación en sus campos.

Aplicaciones

Las aplicaciones gráficas de estos conjuntos son infinitas. Aquí hemos visto un poco de ellos y en dos dimensiones, pero todo es extrapolable a la tercera dimensión. Así, los fractales se utilizan hoy en día para recrear escenarios y efectos de películas de forma virtual. Por ejemplo, el dibujo de cordilleras montañosas se realiza con Geometría Fractal.

La mayoría de las figuras de la naturaleza son fractales, la fórmula está ahí, solamente hay que encontrarla e iterarla.

Nubes, hojas, cauces de ríos, movimientos de líquidos, dentro de nuestra anatomía: la red nerviosa, la pulmonar, la red sanguínea.. son algunos ejemplos de dónde podemos encontrar fractales.

 

Uno de los objetos más fáciles de visualizar y entender como fractal son las ramificaciones arbóreas. Cada extremo se ramifica siguiendo uno o varios patrones, de esta manera, se crean las redes vasculares, neuronales y respiratorias. La gran ventaja es que con un diseño fractal es posible ocupar mucha área en poco volumen, la utilización por parte del organismo humano de la Geometría Fractal es vital para la optimización de la función de los sistemas, permitiendo gran superficie con poco volumen, de este modo los pulmones tienen un aire de intercambio de unos 150 metros cuadrados mientras que su volumen no supera los siete u ocho litros.

 

Y fijándonos en la naturaleza, de nuevo nos dimos cuenta de que la Geometría Fractal nos podía servir en algoritmos, por ejemplo, como la compresión de imágenes. Los algoritmos de compresión de imágenes se basan en esta matemática. El concepto es básicamente expresar una imagen como un sistema de funciones iteradas.

 

Hemos dicho que son usados para recrear escenarios, pues bien aquí vemos unas escenas de películas realizadas con fractales.

En 1982 se realizó todo un planeta con Geometría Fractal (1982!):

 

Esta serie, que a muchos os sonará, tiene fractales en su cabecera, seguro lo hemos visto muchas veces:

 

El humo y la lava en esta escena también son fractales:

Aquí la explicación:

 

Y una aplicación más, música fractal:

 

Y esto es todo.

 

Juan Antonio Martín , es desarrollador full stack PHP y tan apasionado de las matemáticas como de los toros.

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